进行独立重复实验，设每次成功过的概率为p，则失败的概率为1-p。将实验进行到第1次成功时实验结束，以X表示失败实验次数，则称X服从以p为参数的几何分布。将实验进行到恰好出现R次成功时实验结束，以Y表示失败实验次数，则称Y服从以p为参数的负二项分布。因为实验有可能一直失败，故几何分布和负二项分布的随机变量可能取值都是无穷的。

 

 

计算期望值EY与EX的比值。

 

 

从理论上我们知道负二项分布的期望值

 

EY = R * p / (1-p)

 

几何分布的期望值

 

EX = p / (1-p)

 

所以 EY 与 EX 的比值 EY / EX = R

 

 

这类计算的实际意义在于，它把“达到多次成功”的等待过程与“达到一次成功”的等待过程联系起来：期望失败次数之比恰为成功次数 R，且与成功概率 p 无关，说明目标成功次数增加多少倍，平均失败成本和工作量就按多少倍线性增长。

 

实际中可用于估算重复试验的总成本与时间、质量控制中累计 R 个合格品需处理的不合格品数、医学试验和 A/B 测试的样本量设计，以及负二项分布下的索赔次数和事故风险建模；理论上还揭示了负二项变量可分解为 R 个独立几何等待段，期望具有可加性。

 

 

下面，我们使用Drisk软件来对上面问题计算进行验证。

 

Drisk软件支持在Excel上计算概率分布的理论期望值，其函数为：

 

DriskTheoMean()

 

只要把概率分布放在括号中，即可计算出该分布的理论期望值。

 

 

概率p等于1/3

 

计算几何分布Geomet(1/3)的期望值EX为 2

 

取 R 从 1 至 50，分别计算负二项分布 Negbin(R, 1/3) 的期望值EY，见上图。

 

再计算 EY / EX，看到等于 R。